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Jean Bourgain, Remarks on Montgomery’s conjectures on Dirichlet sumsIHES/M/90/31, mai 1990, Bures-sur-Yvette, en anglais. PDF original Ce que montre l’articleBourgain montre que deux conjectures de Montgomery sur les sommes de Dirichlet sont fausses sous leur forme générale. Il étudie ensuite la version corrigée proposée par Montgomery, et montre qu’elle entraînerait un résultat ouvert sur les ensembles de Kakeya.Plan de l’articleTableau§Contenu1. IntroductionConjecture 9.1 de [M] : (1.2). Version en moments (1.3), liée à la conjecture 9.2. Ces énoncés impliqueraient la conjecture de densité pour les zéros de ζ (1.5). Montgomery propose ensuite, en communication privée, la version corrigée (1.6), valable pour .2. Sommes courtesContre-exemples : sur de courts intervalles $[N,N+k]$, on peut linéariser , ce qui donne des progressions quasi arithmétiques. Les inégalités (1.2) et (1.3) échouent donc pour . Sous l’hypothèse de Lindelöf, la meilleure borne qu’on puisse espérer est . Remarque 2.12 : une construction simple d’ensembles .3. La conjecture modifiée (1.6)Lemme 3.3 : une borne du type (3.2) pour l’opérateur de Dirichlet entraîne une inégalité de nature fonctionnelle (3.4).4. Ensembles de KakeyaSi (1.6) est vraie, alors tout ensemble de qui contient un translaté de chaque droite est de dimension de Hausdorff . Ce résultat est connu pour mais ouvert pour ; pour , l’auteur dit savoir obtenir une dimension .5. Croissance de α(N), β(N)Une construction combinatoire, avec un lemme sur des entiers à petit multiple commun, montre que le facteur doit porter sur tout le membre de droite de (1.6), et pas seulement sur . Pour tout : soit , soit (1.11).Références citées : Montgomery, Topics in multiplicative number theory, LNM 227 (1971) ; Bombieri, Le grand crible…, Astérisque 18 (1974) ; Falconer, The geometry of fractal sets, CUP (1985).Points à corriger dans la notice« KAKEA » dans Persons Mentioned et le tag 7423 : le nom correct est Kakeya. La faute vient du texte original (« Kakea sets »), mais une notice devrait utiliser le nom normalisé.Format « 8 f. » : le PDF compte 14 pages (13 numérotées plus la garde). Sauf si « f. » désigne des feuillets imprimés recto-verso, la valeur semble inexacte.Sujets : il faudrait ajouter « ENSEMBLES DE KAKEYA », « DIMENSION DE HAUSDORFF » et « ZÉROS DE LA FONCTION ZÊTA », qui sont au cœur de l’article. Les tags actuels se limitent aux noms propres.Texte océrisé : les formules en display (1.1)–(1.11) ne sont pas dans la couche texte. Je les ai lues sur les images de page 1–2 ; leur transcription n’existe que dans le PDF image.