Plan de l’article
| § | Contenu |
|---|---|
| 1. Introduction | On étudie les sommes $\sum_{n\le N} a_n n^{is}$. La conjecture 9.1 de Montgomery dit que, pour un ensemble $\mathcal T$ de réels espacés d’au moins 1 dans $[-T,T]$, $\sum_{t\in\mathcal T}\lvert\sum a_n n^{it}\rvert^2 \le C_\epsilon(N+T^\epsilon\lvert\mathcal T\rvert)\sum\lvert a_n\rvert^2$. La conjecture 9.2 est une version en moments d’ordre $2\nu$. Toutes deux entraîneraient l’hypothèse de densité $N(\sigma,T)\ll T^{2(1-\sigma)+\epsilon}$ pour les zéros de la fonction zêta. |
| 2. Sommes courtes | Contre-exemples : sur un intervalle court $[N,N+k]$, on approche $\log n$ par une fonction linéaire, ce qui casse (1.2) et (1.3) pour $1<\nu<2$. La meilleure borne qu’on puisse espérer est celle qu’implique l’hypothèse de Lindelöf. Remarque 2.12 : l’auteur relie ces conjectures aux ensembles $\Lambda(p)$ et donne une construction simple d’ensembles $\Lambda(4)$. |
| 3. Conjecture modifiée (1.6) | Il s’agit d’une version proposée par Montgomery en communication privée, avec des coefficients $\lvert a_n\rvert\le1$. Le lemme 3.3 en tire une inégalité de théorie des fonctions. |
| 4. Ensembles de Kakeya | Si (1.6) est vraie, tout ensemble de $\mathbb R^d$ qui contient une translatée de chaque droite est de dimension de Hausdorff $d$. Ce résultat est connu pour $d=2$ et ouvert pour $d\ge3$. Bourgain précise qu’il sait alors démontrer une dimension $\ge 7/3$ pour $d=3$. |
| 5. Croissance de α(N), β(N) | Par une construction combinatoire (lemme 5.13, fondé sur des produits de nombres premiers), il montre que le facteur $N^\epsilon$ ne peut pas être évité dans (1.6). Pour tout $0<p<1$, on a soit $\alpha(N)>\exp((\log N)^p)$, soit $\beta(N)>N^{\epsilon(p)}$. |
Bibliographie citée : Bombieri, Le grand crible (Astérisque 18, 1974) ; Falconer, The Geometry of Fractal Sets (CUP 1985) ; Montgomery, Topics in Multiplicative Number Theory (LNM 227, 1971).
