Résultat principalIl s’agit d’un résultat inconditionnel : l’hypothèse de Riemann n’est pas supposée.Stratégie de preuve1. Décomposer zêta selon les échelles de nombres premiersPour deux décalages proches, les petites échelles sont fortement corrélées ; les grandes échelles se décorrèlent progressivement. C’est cette structure qui rappelle un branchement.2. Imposer des barrières aux trajectoires candidatesLa barrière supérieure contrôle les trajectoires qui montent trop tôt. La barrière inférieure élimine les trajectoires trop basses pour pouvoir atteindre une grande valeur finale sans compensation exceptionnellement coûteuse.Cette seconde barrière est essentielle : elle réduit le nombre de points candidats et rend les estimations arithmétiques accessibles.3. Contourner l’obstacle des longs polynômes de Dirichlet4. Contrôler le reste grâce aux mollificateursDeux outils arithmétiques soutiennent l’itération : des estimations de seconds moments, qui permettent un découplage approximatif entre plages de nombres premiers, et de quatrièmes moments tordus, qui contrôlent zêta accompagnée des mollificateurs et des contraintes de trajectoire.5. Utiliser un théorème du scrutin pour obtenir le bon coût probabilisteLes contraintes de trajectoire sont approchées par des polynômes, puis comparées à un modèle gaussien. Un théorème du scrutin (ballot theorem) estime la probabilité qu’une marche reste sous une barrière tout en atteignant un niveau final donné.Heuristiquement, la densité du point d’arrivée apporte un facteur , et la contrainte de trajectoire un facteur supplémentaire . Ce coût total , combiné aux quelque positions pertinentes, explique le centrage
L’estimation de barrière fait également apparaître le facteur dans .6. Additionner les erreurs et terminer l’itérationLes trois propositions centrales contrôlent successivement l’initialisation, le passage d’une échelle à la suivante et les derniers points candidats. Les erreurs sont sommables ; à la dernière échelle, , une estimation de quatrième moment suffit pour conclure.
